• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 235
  • سه شنبه 1395/12/24
  • تاريخ :

حجم و مساحت

در این مقاله  که مرتبط با کتاب ریاضی نهم می باشد، به صورت خلاصه به معرفی مساحت و حجم انواع اشکال هندسی  می پردازیم.

حجم و مساحت اشکال هندسی

سطح

فرمول مساحت برخی اشکال هندسی دوبعدی به صورت زیر است:

حجم و مساحت اشکال هندسی

اما در مورد اشکال هندسی سه بعدی و دارای حجم برای بدست آوردن مساحت جانبی و مساحت کل هر شکل، می توان از رسم گسترده آن(یعنی باز کردن آن در فضای دو بعدی) بر روی صفحه و محاسبه مساحت هر یک از سطوح استفاده کرد. 

مثال: با توجه به گسترده ی هر یک از حجم های زیر، مساحت گسترده را بدست آورید. 

حجم و مساحت اشکال هندسی

جواب: شش مربع داریم که مساحت هر کدام برابر است با  25=52  پس مساحت کل برابر است با150= 6*25.

حجم های حاصل از دوران شکل های هندسی 

حجم و مساحت اشکال هندسی

1- کره   

تعریف دایره: مجموعه نقاطی از صفحه است که همه آن نقاط از یک نقطه در همان صفحه به نام مرکز به یک فاصله است. به این اندازه ثابت، شعاع می گویند. 

حجم و مساحت اشکال هندسی

از دوران یک نیم دایره حول قطر آن، یک کره بوجود می آید.

کره، مجموعه نقاطی از فضاست که همه آن نقطه ها از یک نقطه به نام مرکز به یک فاصله ثابت و مشخص هستند. به این اندازه ثابت، شعاع کره می گویند

حجم و مساحت اشکال هندسی

حجم و مساحت کره:

1-حجم کره ای با شعاع R از رابطه زیر بدست می آید: 

حجم و مساحت اشکال هندسی
2- مساحت کره ای با شعاع R از رابطه زیر بدست می آید:
حجم و مساحت اشکال هندسی

2- استوانه

از دوران مستطیل حول اضلاع آن، استوانه بدست می آید. در این صورت قاعده آن به شکل دایره خواهد شد. و شعاع دایره همان شعاع استوانه خواهد بود.

حجم و مساحت اشکال هندسی

حجم استوانه : اگر شعاع استوانه r باشد و بلندی آن h، آنگاه حجم آن برابر خواهد بود با:

حجم و مساحت اشکال هندسی

مساحت جانبی استوانه = محیط قاعده × ارتفاع حجم استوانه = مساحت قاعده × ارتفاع

سطح کل استوانه = سطح دو قاعده + مساحت جانبی ( مساحت مجموع دو قاعده + ارتفاع × پیرامون قاعده )

در شکل روبرو کره را طوری درون استوانه قرار داده ایم که کره کاملاً از بالا و پایین و اطراف بر استوانه مماس شده است. 

در این حالت می گوییم کره در استوانه محاط شده است. استوانه نیز بر کره محیط شده است. 

حجم و مساحت اشکال هندسی

شعاع قاعده استوانه برابر R و ارتفاع آن برابر 2R است. 

در نتیجه 

حجم و مساحت اشکال هندسی

حجم و مساحت اشکال هندسی

 با استفاده از حجم کره و استوانه می توان گفت که حجم استوانه یک و نیم برابر حجم کره است. 

3- مخروط

از دوران مثلث قائم الزاویه حول هر یک از اضلاع قائمه یک مخروط بدست می آید.  

حجم و مساحت اشکال هندسی

حجم مخروط: اگر شعاع قاعده مخروط r باشد و ارتفاع آن h، آنگاه حجم آن برابر خواهد بود با:

حجم و مساحت اشکال هندسی

مثال: یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع قائمه 4 و 15 را حول ضلع قائمه بزرگتر دوران می دهیم. حجم شکل حاصل را بدست آورید.

حجم و مساحت اشکال هندسی

 

 

حجم و مساحت اشکال هندسیتعریف هرمحجم و مساحت اشکال هندسی

 

هرم یک چندوجهی است که همه وجه‌ های آن به جز یکی در یک راس مشترکند. ارتفاع  هرم پاره خطی است که از راس هرم بر قاعده آن عمود می‌شود. وجهی از هرم که راس هرم در آن قرار ندارد قاعده و وجه‌های دیگر وجه‌های جانبی نامیده می‌شوند. وجه‌های جانبی همواره به شکل مثلث هستند . به هر یک از مثلث هایی که در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند، وجه جانبی هرم می گویند.

حجم و مساحت اشکال هندسی

هرم منتظم: اگر چندضلعی قاعده یک چندضلعی منتظم بوده و وجه های جانبی با هم همنهشت باشند، هرم را منتظم می گویند.

حجم هرم

حجم هرم با مساحت S و ارتفاع h  برابر است با:

حجم و مساحت اشکال هندسی

مثال: قاعده هرمی مثلث قائم الزاویه با اضلاع قائمه 6و 15 است. اگر حجم هرم برابر 240 باشد ، طول ارتفاع هرم را بیابید.

حجم و مساحت اشکال هندسی

 

نکته:

مخروط شکلی شبیه هرم منتظم است که قاعده آن به شکل دایره و پای ارتفاع در مرکز دایره است.

حجم و مساحت اشکال هندسی

تهیه: مرکز یادگیری سایت تبیان

مخروط

مخروط

در این بازی آموزشی دانش آموزان به خوبی با مفهوم مخروط آشنا خواهند شد. ...
حجم استوانه

حجم استوانه

در این بازی آموزشی دانش آموزان به خوبی با مفهوم حجم استوانه آشنا خواهند شد. ...
معادله ی دایره

معادله ی دایره

در این فعالیت، می توانید در یک محیط پویا با جابه جا کردن مرکز دایره و تغییر شعاع آن، معادلات دایره های مختلف را بررسی کنید....
UserName