جزء صحیح

جزء صحیح هر عدد حقیقی x را با [x] نشان می دهندو به آن براکت x هم می گویند و برابر است با  بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی x.

تعریف جزء صحیح یک عدد

می دانیم هر عدد حقیقی مانند x بین دو عدد صحیح متوالی قرار دارد.یعنی    n 

براکت هر عدد، هیچ وقت برابر عدد کسری یا رادیکالی نخواهد بود، بلکه همواره عدد صحیح ماقبل آن عدد است. 

تعریف دیگری از جز صحیح به صورت زیر ارائه می شود:

مجموعه اعداد حقیقی و صحیح را در نظر بگیرید. به صورت شهودی می‌دانیم که هر عدد حقیقی را می‌توانیم به صورت حاصل جمع یک عدد صحیح و یک بخش اعشاری بنویسیم. بخش اعشاری می‌تواند گنگ یا گویا باشد.

به طور كلی هر عددی روی محور با قرار گرفتن در داخل براكت، مقدار بزرگترین عدد صحیح كوچكتر یا مساوی خود را می پذیرد.

در خیلی از مسائل، تنها همین بخش صحیح مورد نیاز است. به این مفهوم در ریاضی جزء صحیح می گویند. با استفاده از جزء صحیح می‌توان بخش صحیح یک عدد حقیقی را جدا کرد. برای هر عدد حقیقی مانند x  جزء صحیح آن بزرگترین عدد صحیحی است که از بیشتر x  نیست. پس تعریف ریاضی جزء صحیح به صورت زیر است:

مثال: حاصل جزء صحیح اعداد زیر را بیابید:

جزء صحیح به عنوان یک تابع

می‌توان تابع جزء صحیح را هم تعریف کرد. ورودی این تابع یک عدد حقیقی است و خروجی آن یک عدد صحیح که جزء صحیح ورودی می‌باشد.

در این صورت نمودار تابع جزء صحیح به صورت زیر خواهد بود:(در ادامه توضیحات بیشتری درمورد رسم نمودار تابع جز صحیح خواهیم داد)

همان‌طور که می‌بینید، نمودار جزء صحیح شبیه پلکان است. اصطلاحاً به چنین توابعی، توابع پله‌ای گفته می‌شود. تابع پله‌ای تابعی است که بتوان دامنه آن را به تعدادی بازه تقسیم کرد و در هر بازه، تابع برابر با عددی ثابت باشد.

خواص جزء صحیح

1) اگر k عددی صحیح باشد در این صورت:   [x+k]=[x]+k

2) برای هر عدد حقیقی x داریم:  [x]≤x≤[x]+1

نکته: حالت تساوی فوق زمانی برقرار است که x عدد صحیح باشد.

3) از رابطه شماره دو می توان نتیجه گرفت.0≤x-[x]≤1  

4) از رابطه شماره سه می توان نتیجه گرفت: [x-[x]]=0

5) برای عدد xحاصل [-x]  به صورت زیر می باشد:

6) بنابر رابطه  5 می توان رابطه زیر را نتیجه گرفت:

7) برای هر عدد حقیقی x  رابطه زیر برقرار است:

8) همواره به ازای هر عدد حقیقی x داریم: [[x]]=[x]

مثال: معادله براکتی [x]+[x+1/2]+[2x]=8  را حل کنید:

پاسخ: باتوجه به رابطه 7داریم:

اگر [x]=a وa  یک عدد صحیح باشد.در این صورت :a≤x≤a+1 این همان خاصیت شماره 2 می باشد که در احل این سوال استفاده شده است.

نمودار تابع جزء صحیح

برای رسم ساده ترین نمودارتابع جز صحیح یعنی y=[x]  کافی ست x را در بازه های مختلف بررسی کنیم. مثلا فرض کنید این تابع را برای x های مثبت رسم کنیم.

0≤x<1 اگر     آنگاه  [x]=0 

 1≤x<2   اگر   آنگاه [x]=1  و همین طور ادامه می دهیم در نتیجه تابع زیر بدست می آید

به تابع فوق تابع پله ای نیز گفته می شود.

اما در حالت کلی    

 

مثال: فرض کنید می خواهیم نمودارy=[3x]  را رسم کنیم: