• تعداد بازديد :
  • دوشنبه 1395/10/13
  • تاريخ :

ماتریس

هر جدولی از اعداد را كه شامل m سطر و n ستون باشد،یك ماتریس از مرتبه  m در n  می نامیم.

ماتریس ها

مدر این مقاله مبانی و مقدمات ماتریس  ارائه می شود سپس نمونه سوالات مختص ریاضی دوم دبیرستان و بعد برخی از نمونه سوالات کنکور مطرح می شود.

موضوع

ماتریس

اهداف کلی

1- آشنایی با مفهوم ماتریس
2- بیان مفهوم دترمینان و محاسبه آن
3- محاسبه معکوس ماتریس 2 در 2 
4- حل دستگاه دو معادله دو مجهول به کمک ماتریس ها

اهداف پیش بینی شده

دانش آموزان بتوانند دترمینان ماتریس را محاسبه کنند و بتوانند در حل دستگاه معادله از آن استفاد کنند. دانش آموزان بعد از این جلسه آموزشی باید بتوانند به راحتی دو ماتریس را در هم ضرب کنند.البته اگر ضرب شدنی باشند. و در آخر باید مهارت کافی برای محاسبه معکوس تابع داشته باشند.

ارائه درس

گفتیم هر جدولی از اعداد را كه شامل m سطر و n ستون باشد،یك ماتریس از مرتبه  m درn  می نامیم  و معمولا با حرف بزرگ نشان می دهند مانند شكل زیر:

ماتریس ها

در ماتریس فوق به عنوان مثال a12 به معنی مولفه ی سطر اول و ستون دوم ماتریس می باشد.

ماتریس ها

نکته

1) هرگاه در ماتریس ، تعداد سطرها و ستونها با یكدیگر مساوی باشند ماتریس را (مربعی) نامیده و دارای قطر اصلی و قطر فرعی می باشد. مثلاً در ماتریس مربعی 3 در 3 به شکل زیر، قطر اصلی و فرعی را مشخص کرده ایم.

ماتریس ها

درایه های a11 و 22 a و 33 a روی قطر اصلی ماتریس هستند و درایه های 13 a و 22 a و 31 a روی قطر فرعی ماتریس هستند.
به عبارت دیگر اگر در مولفه ها i=j ، درایه ها روی قطر اصلی هستند .
اگر i>j درایه ها  پایین قطر اصلی هستند.
اگر i<j درایه ها بالای قطر اصلی هستند.
2) ماتریس واحد ماتریسی است مربعی، که درایه های قطر اصلی 1 و بقیه درایه ها صفر هستند و آن را با I نشان
می دهندمثل:

ماتریس ها


3) ماتریس صفر، ماتریسی است که همه درایه های آن صفر باشد. مانند:

ماتریس ها

4)ماتریس سطری به ماتریسی گفته می شود که دارای فقط یک سطر است و ماتریس ستونی به ماتریسی گفته می شود که فقط دارای یک ستون است.

جمع و تفریق ماتریس ها

برای جمع و تفریق ماتریس ها دو ماتریس باید هم مرتبه باشند، سپس عضوهای ماتریس را نظیر به نظیر با هم جمع و یا از هم كم می كنیم.

ماتریس ها

ضرب یک عدد در ماتریس

در این حالت کلیه درایه های ماتریس در آن عدد ضرب خواهند شد.

ضرب دو ماتریس

ضرب دو ماتریس A و B زمانی موجود است که تعداد ستونهای ماتریس A برابر با تعداد سطرهای ماتریس B باشد.
یعنی Cmn=Amp×Bpn  . در این صورت سطر اول ماتریس A را در ستون اول ماتریس B درایه به درایه ضرب کرده و مجموع اینها را در درایه C11 قرار می دهیم. مجددا حاصل جمع ضرب درایه به درایه سطر اول A در ستون دوم B را در C12 قرار می دهیم و همین طور الی آخر.

ماتریس ها

ماتریس ها

دترمینان

دترمینان یک ماتریس عددی است که به آن ماتریس نسبت می دهند .دترمینان ماتریس A را با detAیا  lAl نشان می دهیم. در ماتریس دو در دو، دترمینان ماتریس برابر است با حاصلضرب قطر اصلی منهای حاصلضرب قطر فرعی.

ماتریس ها

وارون ماتریس 2در2

همان طور که می دانیم معکوس یک عدد، عددی است که حاصلضرب آن در عدد اولیه برابر یک باشد.در دنیای ماتریس ها هم معکوس ماتریسA را با A-1 نشان می دهند و باید حاصلضرب آنها برابر ماتریس واحد یا همانی شود. یعنی: A ×A-1=A-1× A=I

ماتریس ها

ماتریس هانکته: شرط وارون پذیری یک ماتریس این است که دترمینان آن ماتریس مخالف صفر باشد.
مثال:

ماتریس ها

مثال: اگر

ماتریس ها باشد، وارون ماتریس A×B کدام است؟ 
پاسخ:

ماتریس ها

 محاسبه دترمینان ماتریس 3 در 3

برای محاسبه دترمینان یک ماتریس سه در سه معمولا از روش ساروس استفاده می شود ، در این روش ابتدا ماتریس را مجددا در کنار خود می نویسیم و سپس  درایه های هر قطر اصلی را در هم ضرب کرده و با حاصل ضرب درایه های قطر های اصلی دیگر جمع می کنیم سپس عملیات مذکور را برای قطر های فرعی نیز انجام داده و از حاصل جمع قطرهای اصلی کم می کنیم ، عدد به دست آمده دترمینان آن ماتریس می باشد.
برای محاسبه دترمینان ماتریس A به شکل زیر عمل می کنیم.

ماتریس ها


1- ابتدا ماتریس A را دوباره در کنار آن می نویسیم
2- اکنون درایه های قطر های اصلی را در هم ضرب می کنیم و سپس جمع می کنیم یعنی اگر حاصل جمع قطرهای اصلی را δ بنامیم 
3- اکنون درایه های قطر های فرعی را نیز در هم ضرب می کنیم و سپس جمع می کنیم یعنی اگر حاصل جمع قطرهای فرعی را φ بنامیم . 
4- اکنون دترمینان ماتریس  A برابر حاصل تفریق جمع های قطر اصلی و فرعی است .
مثال: در مثال زیر دترمینان ماتریس به روش فوق محاسبه شده است.

ماتریس ها

حل دستگاه دو معادله دو مجهول به کمک ماتریسها

یکی از کاربرد های ماتریس ها حل معادلات و پیدا کردن مجهولات می باشد . در دستگاه دو معادله دو مجهول اگر A را ماتریس ضرایب وX  را ماتریس ستونی مجهولات وb  را ماتریس ستونی معلومات در نظر بگیریم، مجهولات به روش زیر محاسبه می شوند.

ماتریس ها

مثال: دستگاه زیر را به کمک ماتریس ها حل کنید:

ماتریس ها


تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان

UserName