• تعداد بازديد :
  • شنبه 1395/10/11
  • تاريخ :

تابع یک به یک و معکوس پذیر(2)

برای برخی توابع ،تابعی دیگر وجود دارد.که عکس تابع اصلی عمل کرده و خروجی را به ورودی تبدیل می کند.به چنین تابعی، تابع معکوس یا تابع وارون می‌گویند.

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

برای مشاهده مقاله قبل به اینجا مراجعه کنید.
معکوس تابع یا وارون تابع f تابعی است که در آن به ازای هر خروجی f، به ورودی مربوطه می‌رسیم.مثلا اگر تابع fعضو x0 از دامنه را به yاز برد ببرید تابع وارون f که آن را با f-1  نشان می دهند، عضو y0 را به عنوان عضوی از دامنه خودش به x0 از مجموعه برد می برد.

تعریف ریاضی وارون یک تابع

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

بنابر این برای به دست آوردن معکوس تابع f، که به صورت زوج مرتب است، باید در هر زوج مرتب، جای مؤلفه اول و دوم را عوض کنیم.

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)می دانیم در یک رابطه محدودیتی وجود ندارد اما در یک تابع با این محدودیت مواجهیم که دو عضو متفاوت دامنه نباید به یک عضو از برد نظیر شود. اکنون یک سوال مهم مطرح می شود: آیا معکوس هر تابع، خود یک تابع، است؟

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)پاسخ:معکوس هر تابعی، لزوما یک تابع نیست.به عنوان مثال وارون تابعf={(1,6)(-1,5)(2,5)} برابر است با:
f-1={(6,1)(5,-1)(5,2)}                                                    
در مثال فوق وارون تابع f یک تابع نمی باشد .زیرا با وجود (1 -,5)(5,2 ) در شرایط تابع صدق نمی کند. حال به مثال زیر دقت کنید.
مثال: وارون تابعg={(1,2)(2,3)(5,4)} به صورت زیر می باشد: 
g-1={(2,1)(3,2)(4,5)}                                                               
مشاهده می شود که وارون تابع g، خود یک تابع است.

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

از دو مثال فوق نتیجه می گیریم:
برای اینکه معکوس یک تابع، تابع باشد، در تابع اصلی نباید مؤلفه دوم هیچ دو زوج مرتبی یکسان باشد. که این همان تعریف تابع یک به یک است.

پس زمانی وارون یک تابع، خود تابع است که، تابع اصلی یک به یک باشد.
به تابعی که معکوسش هم تابع است، معکوس پذیر می‌گویند.
 
مثال: کدام یک از توابع زیر معکوس پذیر هستند؟
در اینجا باید به دنبال توابع یک به یک باشیم.

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

در نمودار های ون:
a) تابع است ولی یک به یک نیست بنابر این وارون آن تابع نیست، پس معکوس پذیر نیست.
b) تابع نیست پس ادامه نمی دهیم.
c) تابع است ولی یک به یک نیست بنابر این وارون آن تابع نیست، پس معکوس پذیر نیست.
d)  تابع است و یک به یک هم هست بنابر این وارون آن تابع هست، پس معکوس پذیر است.

 
در نمودارها:
نمودار سمت چپ اصلا تابع نیست پس ادامه نمی دهیم.
نمودار سمت راست تابع یک به یک است پس وارون پذیر است.

روش های محاسبه وارون تابع

محاسبه وارون تابع از روی نمودار ون
برای به دست آوردن معکوس تابع از روی نمودار ون ،کافی ست علامت فلش ها را جابه جا کنیم.
محاسبه وارون تابع از روی زوج مرتب
برای به دست آوردن معکوس تابع از زوجهای مرتب کافیست در هر زوج مرتب، مؤلفه اول را با دوم جابجا کنید.
تعیین وارون تابع از روی نمودار آن در دستگاه مختصات
برای محاسبه وارون وقتی جای مؤلفه x و y را در یک زوج مرتب عوض می‌کنیم، در واقع آن را نسبت به خط y=x قرینه کرده‌ایم. به عبارت دیگر، دو نقطه (x,y) و (y,x) نسبت به خط y=x قرینه هستند.پس نمودار تابع وارون و تابع اصلی نسبت به خط   قرینه‌اند. بنابر این کافی ست نمودار تابع را نسبت به خط y=x قرینه کنیم تا نمودار وارون به دست آید.
محاسبه معکوس تابع از روی ضابطه
اگر تابع به صورت ضابطه نمایش داده شده باشد،مراحل زیر را انجام می دهیم:
مرحله اول: به جای f(x) حرف y را قرار می‌دهیم.
مرحله دوم: x را بر حسب y به دست می‌آوریم.
مرحله سوم: در رابطه به دست آمده، به جای x، y و به جای y، x قرار می‌دهیم و تابع را طوری مرتب می‌کنیم که در یک طرف یک y تنها و در طرف دیگر عبارتی مبتنی بر x باشد
مرحله چهارم: اکنون به جای y ،کافی ست f-1(x)  را قرار ‌دهیم.
مثال:معکوس تابع y=3x-1 را به دست آورید.

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

مثال: معکوس تابع  زیر را بیابید:

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

در مثال های زیر نمودار تابع و وارون آن در یک دستگاه مختصات نشان داده شده است.مشاهده می شود که نمودار وارون دقیقا قرینه تابع اصلی است.          

               تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)   تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

 نکات
۱) دامنه تابع معکوس برابر است با برد تابع اصلی.
۲) برد تابع معکوس برابر است با دامنه تابع اصلی.
3)ترکیب هر تابع با معکوسش برابر است با تابع همانی

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

4) تنها تابعی که خودش با معکوسش برابر است، تابع همانی است. 

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)


۵)معکوس معکوس یک تابع برابر است با خود تابع

تابع یک به یک و معکوس پذیر (2)

تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری تبیان

UserName