• تعداد بازديد :
  • پنج شنبه 1395/10/09
  • تاريخ :

تابع یک به یک و معکوس پذیر(1)

تابع یک به یک تابعی است که هر عضو از برد تنها از یک عضو از دامنه به دست می آید.

توابع یک به یک و معکوس پذیر(1)

در مقاله حاضر می خواهیم درباره توابع یک به یک و تشخیص این توابع صحبت کنیم. در ادامه و در مقاله بعدی می گوییم که هر تابع یک به یک معکوس پذیر است و دارا تابع وارون می باشد.


در این مقاله توضیح دادیم که در یک تابع، هر عضو از دامنه فقط به یک عضو از برد مرتبط می شود.به عبارت دیگر گفتیم در نمودار ون یک تابع، از هر عضو دامنه تنها یک پیکان خارج می شود. این ویژگی اصلی یک تابع است.

در تابع یک به یک هیچ دو عضو غیر یکسان از دامنه، نباید خروجی برابر نداشته باشند. و اگر خروجی ها (yها) یکسان باشند، باید xهای متناظر هم برابر باشند

اکنون در تعریف یک به یک بودن تابع باید بگوییم هر عضو از برد هم تنها باید به یک عضو از دامنه مرتبط باشد یعنی در نمودار ون تابع یک به یک باید به اعضای برد نیز تنها یک پیکان وارد شود.
به عبارت دیگر هیچ دو عضو غیر یکسان از دامنه، نبایدخروجی برابر نداشته باشند. و اگر خروجی ها (yها) یکسان باشند، باید xهای متناظر هم برابر باشند این ویژگی یک تابع یک به یک می باشد.

در واقعتوابع یک به یک و معکوس پذیر(1)

تابع یک به یک تابعی است که هر عضو از برد تنها از یک عضو از دامنه به دست می آید. یعنی هیچ وقت دو عضو نابرابر از دامنه، یک خروجی برابر تولید نمی کنند.

تعریف یک به یک بودن به زبان ریاضی

(**)   توابع یک به یک و معکوس پذیر(1)

عبارت بالا به این معنی است که تابع f یک به یک است، اگر و تنها اگر، برای همه x و y های درون دامنه، اگرf(x)  و f(y)  برابر باشد، آنگاه x و y هم برابر باشند.
 

روش های تشخیص تابع یک به یک

باتوجه به اینکه به چند روش می توان نمایش تابع را ارائه کرد، بنابر این روش های تشخیص یک به یک بودن تابع نیز متفاوت است.

تشخیص تابع یک به یک از روی نمودار ون

برای تشخیص تابع یک به یک از نمودار ون، کافیست به فلش ها دقت کنیم. اگر در مجموعه مقصد یا برد، به یکی از اعضا دو فلش وارد شده باشد، تابع یک به یک نیست. در شکل زیر تابع سمت چپ یک به یک است  اما تابع سمت راست نیست زیرا به 4 دو فلش وارد شده است.

توابع یک به یک و معکوس پذیر(1)

تشخیص تابع یک به یک از روی نمودار

برای تشخیص تابع بودن از روی نمودار گفتیم خطوط فرضی عمودی رسم می کنیم و اگر تابع را در جایی در بیش از یک نقطه قطع کرد می گوییم تابع نیست.اما برای تشخی تابع یک به یک کافی ست خوط فرضی افقی رسم کنیم.
در نمودار تابع یک به یک، هیچ خط افقی موازی محور xها نباید تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند. اگر در بیش از یک نقطه قطع کند تابع یک به یک نیست.زیرا اگر یک خط افقی، تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند، یعنی به ازای یک y بیش از یک x به دست آمده است یا دو پیکان در خروجی وجود دارد.
توابع یک به یک و معکوس پذیر(1) به عنوان مثال در شکل زیر تابع سمت راست غیر یک به یک و تابع سمت چپ یک به یک می باشد.

توابع یک به یک و معکوس پذیر(1)

مثال: کدام یک از توابع زیر یک به یک است؟

تشخیص یک به یک بودن تابع از زوج های مرتب 

اگر تابع به صورت یک مجموعه زوج مرتب نشان داده شده باشد،برای تشخیص یک به یک بودن.کافی ست بررسی کنیم که مؤلفه دوم هیچ دو زوج مرتبی با هم برابر نباشد. اگر هم برابر بود، مؤلفه اولشان هم برابر باشد (یعنی دو زوج مرتب یکی باشند).
مثال: تابع  f(x)={(1,5)(0,2)(1,6)}  یک به یک نیست. زیرا در (1،6)(۱,۵) هر دو دارای مؤلفه دوم یکسان و مؤلفه اول نابرابر هستند.  

تشخیص تابع یک به یک از روی ضابطه

برای اینکه تشخیص دهیم ضابطه یک تابع یک به یک هست یا نه. باید به تعریف ریاضی تابع یک به یک (**) رجوع کنیم. در مثال زیر  این راه خل را توضیح داده ایم.

توابع یک به یک و معکوس پذیر(1)مثال: ثابت کنید تابع  f(x)=3x-1  یک به یک است.
برای دو متغیر x و a ، فرض می کنیم کهf(x) = f(a)  سپس از این فرض نتیجه می گیریم که x با a مساوی است.
 

توابع یک به یک و معکوس پذیر(1)

پس تابع یک به یک است.
توابع یک به یک و معکوس پذیر(1)مثال: آیا تابع  y=x2+1 یک به یک است؟

توابع یک به یک و معکوس پذیر(1)

بنابر این تابع فوق یک به یک نیست.


نکات 
۱: هر تابعی اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد(یا به عبارتی اکیدا یکنوا باشد)، حتماً یک به یک است. ولی عکس آن برقرار نیست یعنی ممکن است تابع یک به یک باشد ولی اکیدا یکنوا نباشد.


2: هر تابع زوجی با دامنه بیش از یک عضو، یک به یک نیست. تعریف ریاضی تابع زوج به صورت f(-x)=f(x)می باشد


3
:هر تابع یک به یک معکوس پذیر است.(که در ادامه توضیح خواهیم داد)

مرکز یادگیری تبیان تهیه: پروین نظری

 

UserName