• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 1745
  • سه شنبه 1395/10/14
  • تاريخ :

تابع نمایی و لگاریتمی

اگر در ضابطه ی یك تابع ، متغیر در توان باشد به آن تابع، تابع نمایی می گویند .البته پایه نیز باید عدد ثابت مثبت و مخالف یک باشد.

توابع نمایی و لگاریتمی

موضوع

توابع نمایی و لگاریتمی و ارتباط این دو تابع با یکدیگر

اهداف کلی

1-آشنایی با مفهوم تابع نمایی و ویژگی های این تابع مثل دامنه و برد آن.
2-آشنایی با رسم توابع نمایی در صورت تغییر عدد پایه
3 -آشنایی با تابع لگاریتم و ارتباط آن با تابع نمایی
4- بیان دامنه و برد تابع نمایی

اهداف پیش بینی شده

پیش بینی می شود دانش آموزان در پایان این جلسه آموزشی به اهداف زیر دست یابند:
1- با توابع نمایی و رسم آنها به خوبی آشنا شوند.
2 - مفهوم معکوس پذیر بودن تابع نمایی را درک کرده و تعریف تابع لگاریتم را بدانن.
3 - بتوانند انواع تابع لگاریتمی را رسم کرده (به کمک انتقال نیز می توان رسم کرد) و دامنه و برد را تشخیص دهند.
4 - قواعد لگاریتم را به خوبی بلد باشند.

نکات آموزشی و تدریس

در تدریس و آموزش این مبحث دبیران محترم به دانش آموزان تاکید بفرمایند که حفظ و یادگیری قواعد لگاریتم برای حل مسایل لگاریتمی بسیار اهمیت دارد. ضمننا در حل معادلات لگاریتمی علاوه بر قواعدجمع و تفریق لگاریتم ها، دو قاعده زیر بسیار پر کاربرد می باشد.

توابع نمایی و لگاریتمی

ارائه درس

فرم کلی تابع نمایی: فرم کلی تابع نمایی به صورت y=ax می باشد. با شرط.   a>0    و     a≠1.
نمودار تابع نمایی به دو صورت زیر می باشد:

توابع نمایی و لگاریتمی


نکات
1) در توابع نمایی ، متغیر در توان است و فرم کلی آنها برابر y=abcx + k می باشد.
2) دامنه توابع نمایی مجموعه ی اعداد حقیقی و برد آن مجموعه ی اعداد مثبت یعنی (0,+∞) بوده و تابعی یك به یك است . پس معكوس پذیر است.
3) تابع y=ax باشرایط تعریف شده همواره مثبت است و نمودار آن بالای محور x هاست.
4) نمودار ax همواره از نقطه (0,1) می گذرد.
5) اگر a>1 نمودار تابع صعودی و اگر 0<a<1  نمودار تابع نزولی می باشد .
6) تابع y=ax محور x ها را قطع نمی کند ولی در بی نهایت خیلی به آن نزدیک می شود .به خط y=0  مجانب افقی این تابع می گویند.
پر کاربرد ترین تابع نمایی در دنیای واقعی، ex می باشد .به e  عدد نپر می گویند و مقدار تقریبی آن 2/718 می یاشد.
7) در تابع نمایی y=ax با توجه به مقدار پایه(a) نمودار تابع به طور متفاوت رسم می شود:

توابع نمایی و لگاریتمیاگر a>1  نمودار تابع در راستای افقی فشرده تر و به محور y ها نزدیک تر می شود.

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمی برای 1>0 <a هرچه a بزرگتر باشد نمودار در راستای افقی کشیده تر و از محورy ها دورتر می شود.

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمیمثال: کدامیک از توابع زیر رفتار تابع نمایی را دارند؟

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمیپاسخ:
در بین توابع الف ، ب و ج فقط تابع( الف ) نمایی می باشد زیرا متغیر در توان است . در بین نمودار ها نیز تابع (و) رفتار نمایی دارد.

تاریخچه لگاریتم

با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری كه دانشمندان قرن های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و كار داشتند،لگاریتم بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می كرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند كه چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در كمترین زمان ممكن به جواب مطلوب دست یابند.هرچند که کشف لگاریتم همزمان توسط دونفر جان نپر و دیگری بورگی انجام شد . اما اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر است.

تعریف لگاریتم

در بخش نکات تابع نمایی Y=ax گفتیم دامنه توابع نمایی مجموعه ی اعداد حقیقی و برد آن مجموعه ی اعداد مثبت بوده و تابعی یك به یك است . پس معكوس پذیر است كه معكوس آن را می توان با یافتن قرینه نقاط روی نمودار تابع نمایی نسبت به خط x= y  یافت كه این تابع معكوس را تابع لگاریتمی می نامیم و با نماد  x=loga y  نشان می دهند.

توابع نمایی و لگاریتمی

به بیان دیگر لگاریتم یك تابع در پایه ی a ) aعددی مثبت و مخالف یک است) برابر با توانی از پایه است كه آن عدد را می دهد، یعنی  اگر b y=x باشد، میتوان نتیجه گرفت y=log b  x . مانند شکل زیر     توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمی

در شکل زیر تابع نمایی Y=ax با a>1 را می بینیم . نمودار سمت راست نمودار معکوس این تابع یا همان لگاریتم را نشان می دهد.

توابع نمایی و لگاریتمی

نکات

1) دامنه توابع لگاریتمی به شکل y=log ax برابر برد تابع نمایی y=ax و برد تابع لگاریتمی برابر دامنه تابع نمایی است زیرا این دو تابع معکوس هم هستند . پس دامنه تابع لگاریتمی مجموعه ی اعداد مثبت و برد آن مجموعه ی اعداد حقیقی است.
2)نمودار y=loga x از نقطه  (0,1) می گذرد.
3) اگر a=e  باشد ، لگاریتم را با نماد ln x نمایش داده و به آن لگاریتم طبیعی می گویند.
4) معمولا در لگاریتم با مبنای 10، مبنا نوشته نمی شود.
5)تابع لگاریتم مانند تابع نمایی به دو صورت زیر می باشد.

         توابع نمایی و لگاریتمی                    توابع نمایی و لگاریتمی

 

قواعد لگاریتم

تمامی قواعد log و Ln  مشابه هم هستند.

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمیمثال: حاصل عبارات زیر را بدست آورید:

توابع نمایی و لگاریتمی


توابع نمایی و لگاریتمیمثال: معادلات لگاریتمی زیر را حل کنید و  جواب های قابل قبول را مشخص کنید:

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمی  در حل معادلات لگاریتمی باید دقت کنیم .در مرحله آخر جواب ها  چک کنیم زیرا باید در شرایط زیر صدق کند:

توابع نمایی و لگاریتمی

تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری تبیان

مقدمات مثلثات

مقدمات مثلثات

در صورت یکسان بودن زوایای مثلث های قائم الزاویه، برخی نسبت ها همواره برابرند....
مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

مفهوم تابع و رسم توابع به کمک انتقال

تابع نوعی رابطه از یک مجموعه به مجموعه دیگر است که مجموعه ورودی را به مجموعه خروجی ربط می دهد. فقط تنها شرط اینکه این رابطه یک تابع باشد این است که هر عضو از مجموعه ورودی تنها به یک عضو از مجموعه خروجی ربط داده شود....
دامنه و برد توابع به بیان ساده

دامنه و برد توابع به بیان ساده

مجموعه ی همه عضوهای اول در زوج مرتب تابع را دامنه و مجموعه ی همه ی عضوهای دوم را برد تابع می گوییم.
UserName