• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 1511
  • چهارشنبه 1395/9/3
  • تاريخ :

اکسترمم های تابع

اکسترمم یک تابع به معنی ماکزیمم یا می نیمم تابع می باشد.

اکسترمم توابع

موضوع

اکسترمم های تابع

اهداف کلی

1-توضیح انواع اکسترمم ها (نسبی و مطلق)
2-آشنایی با نقاط بحرانی
2-روش های تشخیص اکسترمم های توابع
3- کاربرد مشتق در تشخیص اکسترمم ها

اهداف پیش بینی شده

پیش بینی می شود دانش آموزان در پایان جلسه به اهداف زیر دست یابند:
1- بتوانند انواع نقاط اکسترمم ونقاط بحرانی تابع را از روی نمودار تشخیص دهند.
2- بتوانند نقاط اکسترمم نسبی(موضعی) تابع را به کمک جدول تعیین علامت مشتق بدست آورند.
3- بتوانند نقاط بحرانی را بیابند
4-بتوانند نقاط اکسترمم مطلق تابع را بدست آورند.

نکات آموزشی و تدریس

دانش آموزان معمولا با مفهوم اکسترمم های نسبی و مطلق، مشکل دارند .همکاران محترم سعی کنند ابتدا این مفاهیم را از روی نمودار توضیح دهند و بعد وارد محاسبات ریاضی و استفاده از مشتق و ... شوند. دبیران محترم متذکر شوند که برای محاسبه نقاط اکسترمم نسبی دو راه وجود دارد، راه اول جدول تعیین علامت مشتق و راه دوم آزمون مشتق دوم .
سعی کنید از نرم افزارهای آموزشی ریاضی مثل جئو جبرا استفاده کنید تا انگیزه بیشتری در دانش آموزان حاصل شود . 

ارائه درس

اکسترمم توابع: اکسترمم یک تابع به معنی ماکزیمم یا می نیمم تابع می باشد.
در حالت کلی دو نوع اکسترمم داریم،اکسترمم نسبی و مطلق.
اکسترمم (ماکزیمم یا می نیمم)نسبی
ماکزیمم نسبی: تابع f  در x=c دارای ماکزیمم نسبی است هرگاه یك همسایگی شامل c(مانند(a,b))  موجود باشد كه برای هر x∈(a,b)  داشته باشیم : . f (x) ≤ f (c)  یعنی مقدار تابع در نقطه x=c یعنی (f(c از تمام مقادیر (f(x در نقاط مجاور خود  (یعنی در اطراف راست و چپ نقطه c ) بزرگتر است.
مینیمم نسبی: تابع f  در x=c دارای مینیمم نسبی است هرگاه یك همسایگی شامل c(مانند(a,b))  موجود باشد كه برای هرx∈(a,b) داشته باشیم :f(x) ≥ f(c)  یعنی مقدار تابع در نقطه x=c یعنی (f(c از تمام مقادیر (f(x در نقاط مجاور خود (یعنی در اطراف راست و چپ نقطه c ) کمتر است.

اکسترمم های تابع

با توجه به شکل فوق، تابع در C1دارای ماکزیمم نسبی و در C2 دارای می نیمم نسبی است.(به وجود همسایگی با شرایط ذکر شده در اطراف این نقاط توجه کنید)

 

اکسترمم های تابعسوال: نقطه می نیمم نسبی نقطه ای ست که نسبت به نقاط مجاور خود ............. دارد. (پاسخ: عرض کمتری)

اکسترمم های تابع

نکته: تابع ثابت در تمام نقاطش هم ماکزیمم نسبی دارد و هم می نیمم نسبی.
نکته: اگر X=C اکسترمم نسبی تابع f باشد و تابع مشتق پذیر باشد، در آن صورت  حتما f ′(c)=0 .اما بالعکس آن لزوما برقرار نیست. یعنی ممکن است تابع اکسترمم نسبی داشته باشد ولی مشتق پذیر نباشد. مانند شکل زیر

اکسترمم های تابع

همان طور که مشاهده می کنید تابع در X=1 دارای می نیمم نسبی است اما در همین نقطه مشتق پذیر نیست.

اکسترمم های تابع

تشخیص نقاط اکسترمم نسبی

1) یکی از روش های تشخیص استفاده از مشتق و جدول تعیین علامت آن می باشد.که به آن آزمون مشتق اول می گویند.
در این روش ابتدا باید مشتق را محاسبه کنیم نقطه اکسترمم نسبی نقطه ای است که مشتق در این نقطه یا صفر است یا اصلاً وجود ندارد و علامت مشتق در طرفین آن عوض می شود.

اکسترمم های تابع

مثال:نقاط اکسترمم نسبی تابع زیر را بیابید؟

اکسترمم های تابع

2) آزمون مشتق دوم
در توابعی که مشتق پذیرند ، ریشه ساده مشتق نقاط اکسترمم نسبی هستند(ریشه مضاعف مشتق نقطه عطف می باشد)
در این روش برای تشخیص نوع اکسترمم نسبی باید مشتق دوم تابع را محاسبه کرده و علامت آن را در ریشه های مشتق اول بدست آوریم.فرض کنید x0 ریشه ساده 'y باشد در آن صورت:

اکسترمم های تابع

اکسترمم مطلق

هر گاه نقطه ای از دامنه تابع را داشته باشیم که این عرض این نقطه(مقدار تابع) از همه نقاط دیگر بیشتر یا کمتر باشد آن نقطه را اکسترمم مطلق می گوییم.در شکل زیر این نقاط را مشحص می کنیم:

اکسترمم های تابع

اکسترمم های تابعدر شکل فوق  تابع در x3 دارای می نیمم مطلق و در x2 دارای ماکزیمم مطلق می باشد.
البته با توجه مطالب قبلی مشاهده می کنیم تابع در x1و x3 و x5 دارای می نیمم نسبی و در x2 و x4و x6 دارای ماکزیمم نسبی است .
اکسترمم های تابع
اکسترمم های تابعدر شکل فوق تابع در a دارای می نیمم نسبی و در E دارای ماکزیمم نسبی می باشد.

نکته مهم: برای بررسی اکسترمم نسبی باید به همسایگی نقطه و برای بررسی اکسترمم مطلق باید به کل بازه توجه کنید.

اکسترمم های تابعبرای بدست آوردن نقاط اکسترمم مطلق یک تابع به روش ریاضی باید با تعریف نقاط بحرانی آشنا شویم.

نقطه بحرانی
نقطه بحرانی نقطه ای است که:
۱-باید در دامنه تابع باشد و تابع در آن تعریف شده باشد.
۲-مشتق تابع در آن نقطه یا برابر صفر است یا موجود نمی باشد .
برای محاسبه نقاط بحرانی ابتدا باید از تابع مشتق بگیریم و سپس در صورت کسری بودن تابع مخرج مشترک و غیره انجام می دهیم و سپس ریشه های صورت و مخرج را بدست می آوریم .

 

اکسترمم های تابعسوال: در چه نقاطی مشتق تابع موجود نیست؟ 
جواب :بستگی دارد ممکن است تابع شما مثلثاتی و یا قدر مطلقی و یا کسری باشد بطور کلی نمی توان فرمول کلی بدست آورد. مثلا اگر تابع کسری داشته باشید ریشه های مخرج  نقاط بحرانی هستند به شرط اینکه تابع اولیه در این نقاط موجود باشد.  

 

اکسترمم های تابعنکته مهم: اگر تابع را برروی یک بازه تعریف می کنیم دقت کنید که نقطه ابتدا و انتهای بازه جز نقاط بحرانی تابع نیست.
نکته:تمام نقاط اکسترمم نسبی ، بحرانی هستند ولی هر نقطه بحرانی لزوماً یك نقطه اكسترمم نیست.زیرا نقاط اكسترمم نسبی تنها در دو حالت می توانند رخ دهند. تابع مشتق برابر صفر داشته باشد یا تابع مشتق پذیر نباشد.

نحوه بدست آوردن اکسترمم مطلق

۱-ابتدا مشتق تابع را محاسبه می کنیم.
۲-نقاط بحرانی تابع را بدست می اوریم .
۳-مقدار تابع را در نقاط بحرانی محاسبه می کنیم و نیز در ابتدا و انتهای بازه  مورد بررسی قرار می دهیم . نقطه ای که تابع به ازای آن داری بیشترین مقدار است را ماکزیمم مطلق و نقطه را که تابع به ازای آن دارای کمترین مقدار است را مینیمم مطلق می گوییم.

مثال: نقاط اکسترمم مطلق تابع زیر را در بازه [2,2-]بیابید:

اکسترمم های تابع

اکنون مقدار تابع را در 0و1و2و2- بررسی می کنیم.

اکسترمم های تابع

بنابر این تابع در x=-2 دارای می نیمم مطلق است و مقدار آن برابر 56 -  است  و در x=2 دارای  ماکزیمم مطلق است و مقدار آن برابر 8 است.

اکسترمم های تابع

ارزشیابی پایانی

پیشنهاد می شود آزمون ساده زیر را در پایان جلسه آموزشی  برگزار کنید .
1) با توجه به شکل زیر انواع اکسترمم نسبی و مطلق تابع را در بازه [a,d]بدست آورید.

اکسترمم های تابع

2) اکسترمم های نسبی تابع زیر را به دو روش آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم بیابید:

اکسترمم های تابع

3) نقاط بحرانی و مقادیر اکسترمم مطلق تابع زیر را بیابید:

اکسترمم های تابع

تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان

توابع صعودی و نزولی

توابع صعودی و نزولی

اگر یک تابع در یک بازه ای مثل [a,b] با افزایش مقدار x مقدار y نیز افزایش یابد در این صورت تابع را اکیدا صعودی می نامیم ...
گرما شیمی - بخش اول

گرما شیمی - بخش اول

با استفاده از ΔH می توانیم اطلاعات شیمیایی زیادی را نظم بدهیم و به یکدیگر مربوط سازیم. برای سهولت، به انوع تغییرات آنتالپی نام های متفاوتی می دهیم. ΔH هر واکنش شیمیایی را گرمای واکنش می نامند. ΔH واکنش سریع یک ماده با O2 گرمای احتراق ماده نام دارد. ..
روابط بین جرم-مقدار

روابط بین جرم-مقدار

در شیمی دو راه برای بررسی مقدار ماده وجود دارد. یک راه تعیین جرم است که معمولا برحسب گرم (g) اندازه گیری می شود. البته می دانیم واحد جرم در سیستم SI کیلوگرم (kg) است. راه دیگر تعیین مقدار است...
UserName