احتمال(2)

هر کدام از ما روزانه جملاتی از قبیل ، "احتمالاٌ فلان تیم پیروز می شود یا با احتمال 70درصد کاندید A شکست می خورد و ..." را با حدس های شخصی و یا اطلاعاتی که از قبل داریم به کار می بریم، که هر کدام از آنها نشان دهنده یک آزمایش تصادفی است چون جواب آنها به طور قطع مشخص نیست.

احتمال
فرمول ریاضی احتمال برای پیشامد A که با P(A) نشان می دهند برابر است با

به طور کلی اصطلاح احتمال مربوط به وقوع پیشامدهای تصادفی است و در یک تعریف غیر رسمی احتمال به معنای شانس وقوع یک پیشامد در انجام یک آزمایش تصادفی است.اما تعریف ریاضی احتمال پیشامد A که با P(A) نشان می دهند،با توجه به مقاله قبل به صورت زیر بیان می شود :

قواعد احتمال

1)احتمال یک پیشامد ، همواره عددی نامنفی است.

2)احتمال یک پیشامد قطعی برابر یک است.P(S)=1
3)اگر A ,B دو پیشامد باشند دراین صورت :

4)اگر A₁ , A₂,A₃ ,... دنباله ای متناهی یا نا متناهی از پیشامدهای دو بدو ناسازگار باشند آنگاه :

مثال :خانواده ای دارای سه فرزند است،احتمال اینکه این خانواده حداقل یک دختر داشته باشد چقدر است؟

جواب
در مثال هایی مثل سکه و فرزند که دوحالت دارند(شیر یاخط،دختر با پسر)برای بدست آوردن تعداد فضای نمونه اگر آزمایش n بار تکرار شده باشد برابر است باn(S)=2ⁿ .

احتمال شرطی

در بسیاری از مسائل،آگاهی از رخ دادن پیشامدی(مثل B )، در محاسبه احتمال رخ دادن پیشامدهای دیگر مثل(A )کمک موثری می نماید.و با P(A / B) نشان می دهند یعنی احتمال اینکه A رخ دهد به شرط اینکهB اتفاق افتاده باشد :

پیشامدهای مستقل

پیشامدی را مستقل می گویند اگر رخ دادن یا رخ ندادن هر یک از آنها در احتمال رخ دادن دیگری تأثیری نداشته باشد.اگر دو پیشامدA وB مستقل باشند داریم:

مثال: با احتمال 0/9 امروز باران می بارد و با احتمال 0/5 فردا باران می آید.با چه احتمالی هم امروز و هم فردا باران می بارد؟
این دو پیشامد مستقل از هم هستن یعنی وقوع هرکدام ربطی به دیگیری ندارد پس :

جواب

تابع احتمال

متغیر تصادفی توصیف عددی خروجی یک آزمایش است. به تابعی كه بتوان با استفاده از آن احتمال هر یك از مقادیر ممكن متغیر تصادفی را مشخص كرد تابع احتمال یا توزیع احتمال گفته می شود.
تابع احتمال گسسته بایددر شرایط زیر صدق کند:

مثال:یك سكه را 3بار پرتاب می كنیم. متغیر تصادفی X عبارت است ازتعداد شیرهای ظاهر شده، جدول احتمال x را به دست آورید.

جواب

همان طور که مشاهده می کنید جمع همه احتمالات برابر یک می باشد.

تابع احتمال پیوسته

چون تابع احتمالات یك متغیر تصادفی پیوسته نمی تواند به صورت جدولی نمایش داده شود، به صورت فرمول خواهد بود. تابع چگالی احتمال یك متغیر تصادفی پیوسته x ،تابعی است مانندφ(x) درشرایط زیر صادق است: