پیوستگی توابع و قضایای آن
تابع پیوسته f در نقطه a تابعی است که در نقطه a تعریف شده، و هم چنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر f(a) باشد.
در تعریف هندسی می گوییم، تابعی پیوسته است که بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.
تعریف ریاضی پیوستگی
تابع f در نقطه x=a پیوسته گوییم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد:
الف) (f(a موجود و متناهی باشد یعنی تابع در نقطه a تعریف شده باشد.
ب) حد تابع در a موجود باشد یعنی حد راست و چپ در این نقطه موجود و برابر باشد.
ج)حد تابع برابر مقدار تابع باشد.
بطور خلاصه تابع f در نقطه x=a پیوسته است اگر:
مثال: در مثال زیر پیوستگی تابع بررسی شده است :
1) اگر شرط زیر برقرار باشد گوییم تابع f در نقطه a پیوستگی راست دارد.
در حل این تابع همان طور که مشاهده می کنید حد راست و حد چپ برابر هستند و با مقدار تابع تیز برابرند بنابر این پیوستگی در نقطه x=3 برقرار است.
پیوستگی راست و چپ
مانند شکل زیر :
در شکل فوق حد راست تابع در نقطه b برابر است با مقدار تابع در این نقطه .اما حد چپ برابر آنها نیست پس در کل پیوستگی موجود نیست اما پیوستگی راست داریم .
2) اگر شرط زیر برقرار باشد گوییم تابع f در a پیوستگی چپ دارد.
ناپیوستگی
اگر تابع در نقطه ای پیوسته نباشد گوییم در آن نقطه ناپیوسته است.
هر تابع به سه دلیل ممکن است پیوسته نباشد:
1) حد تابع در آن نقطه موجود نباشد.
2) تابع در آن نقطه موجود نباشد.
3) حد موجود با مقدار تابع موجود، برابر نباشد.
انواع ناپیوستگی
1) ناپیوستگی رفع شدنی: اگر در میان شرایط ناپیوستگی، حد تابع موجود باشد ولی با مقدار تابع در نقطه x=a برابر نباشد و یا اصلا تابع در x=a تعریف نشده باشد می گوییم دارای ناپیوستگی رفع شدنی است.
2) ناپیوستگی رفع نشدنی یا اساسی: اگر تابع در نقطه x=a فاقد حد باشد ناپیوستگی اساسی یا رفع نشدنی است.
پیوستگی روی بازه
1) تابع f را روی بازه (a,b) پیوسته گوییم هرگاه برای هر a
2) تابع f را روی بازه[a,b] پیوسته گوییم هرگاه تابع در(a,b) پیوسته باشد و نیز در a پیوستگی راست و در b پیوستگی چپ داشته باشد.
3) تابع f را روی بازه [a,b) پیوسته گوییم هرگاه تابع در (a,b) پیوسته باشد و در b پیوستگی چپ داشته باشد.
4) تابع f را روی بازه (a,b] پیوسته گوییم هرگاه تابع در (a,b) پیوسته باشد و نیز در a پیوستگی راست داشته باشد.
قضایای مهم مربوط به پیوستگی
قضیه مقدار میانی
فرض کنید تابع f در بازه [a,b] پیوسته باشد و نیزf(a)=A و f(b)=B .هم چنین فرض کنید m عددی بین A,B باشد. در این صورت حتما c ای در [a,b] موجود است که f(c)=m .
قضیه بولتزانو
فرض کنید تابع f در بازه [a,b] پیوسته باشد و f(a).f(b)<0 یعنی مختلف العلامه هستند. در این صورت c ای در (a,b) موجود است که f(c)=0.
تهیه: پروین نظری - منبع:سایت nenomatica-مرکز یادگیری سایت تبیان