• تعداد بازديد :
  • سه شنبه 1395/07/20
  • تاريخ :

حد توابع و قضایای آن

برای تابع f(x)   اگر مقادیر متغیر x   که در  دامنه تعریف شده اند در یک همسایگی حول نقطه a، به عدد  a  نزدیک شوند و متناظر با آن،  مشاهده شود مقادیر برد روی محور y  به عدد منحصربفرد L  نزدیک می شوند ،می گوییم حد تابع f  در نقطه a  برابر  L است . 

حد توابع و قضایای آن 

تعریف ریاضی حد :

در تعریف تئوری حد، توضیح دادیم اگر x  های دامنه ،حول نقطه a به اندازه کافی به عدد a نزدیک شود و سپس  نمودار f  به عدد L میل کند، می گوییم حدتابع در نقطه a  برابر L است .اما تعریف ریاضی حد را به صورت زیر بیان می شود :
اگر به ازای هر ε مثبت عدد مثبتی مانند δ موجود باشد به طوریکه وقتی حد توابع و قضایای آن آنگاه       حد توابع و قضایای آن

   در آن صورت می گوییم : 

حد توابع و قضایای آن
 

حد توابع و قضایای آن

نکات مهم :

۱- لزومی ندارد که تابع در نقطه  a  تعریف شده باشد، اما لزوما تابع باید در اطرف نقطه a  تعریف شده باشد.
۲- x  از هر دو طرف به سمت a  نزدیک می شود یعنی هم از سمت بزرگتر (راست) و هم از سمت کوچکتر (چپ). که  مفهوم حد چپ و حد راست را بیان می کند.
۳- متغیر x  به سمت a  نزدیک می شود اما هیچ گاه برابر مقدار a نخواهد شد.

حد راست و چپ:
حد توابع و قضایای آن

حد راست:  وقتی می گوییم حد راست تابع در نقطه a  برابر L1  است یعنی ما از سمت راست که در واقع بزرگتر از a  هستند  به a  نزدیک می شویم. و مقدار تابع به L1 نزدیک می شود .
حد چپ :  وقتی می گوییم حد چپ تابع در نقطه a  برابر L2  است یعنی ما از سمت چپ که در واقع کوچکتر از a  هستند  به a  نزدیک می شویم.و مقدار تابع به L2 نزدیک می شود .
نکته مهم این است که وقتی می گوییم  تابع f  در نقطه a  حد دارد و حد آن برابر L  است ،یعنی حد راست و چپ برابر بوده و مساوی  L  است .

مثال : به شکل زیر توجه کنید ،

حد توابع و قضایای آن



مشاهده می کنیم که حد راست برابر  1.3 و حد چپ برابر 3.8 می باشد .در نتیجه این تابع در نقطه a  حد ندارد .

قضایای حد :

1)قضیه حد مجموع : حد مجموع دو تابع برابر است با جمع حد دو تابع به شرط اینکه حد توابع موجود باشد .

حد توابع و قضایای آن

2)قضیه حد حاصلضرب : حد حاصلضرب  دو تابع برابر است با حاصلضرب حد دو تابع به شرط اینکه حد توابع موجود باشد

حد توابع و قضایای آن

3) قضیه حد خارج قسمت : حد خارج قسمت  دو تابع برابر است با تقسیم حد دو تابع به شرط اینکه حد توابع موجود باشد و نیز حد تابع مخرج صفر نشود .

حد توابع و قضایای آن


4) حد حاصلضرب یک عدد ثابت در یک تابع برابر است با حاصلضرب آن عدد ثابت در حد تابع مورد نظر . به شرط اینکه حد تابع  موجود باشد.

حد توابع و قضایای آن


قضیه فشردگی 

فرض کنید سه تابع f و g و h وجود داشته باشند طوری که به ازای تمام x هایی که در بازه [a,b]  هستند داشته باشیم : 

حد توابع و قضایای آن

حد توابع و قضایای آن

در این صورت اگر حد توابع f و g برابر L باشند ،حد تابع h نیز برابر L خواهد بود .

حد توابع و قضایای آن

مثال :فرض کنید    حد توابع و قضایای آن.در این صورت حد تابع وسط را در x=0 بیابید ?

 جواب :چون حد تابع -x2  و  x2 در x=0 برابر صفر است پس طبق قضیه فشردگی حد تابع وسط نیز صفر می شود . در شکل زیر نیز می توانید  شهودی ببینید.

حد توابع و قضایای آن

تهیه: پروین نظری-مرکز یادگیری سایت تبیان

UserName