مثلث
این را تصور کن!
بعدش چی میاد؟
این را تصور کن! اگر هر ضلع مثلث شکل 1، یک اینچ باشد، این یعنی محیط مثلث 3 اینچ است. فرض کنید که شما الگوی این شکل هندسی را تا رسیدن به شکل 5 ادامه بدهید. جمع محیط همه مثلث های سفید در شکل 5 چقدر است؟
تذکر:
محیط یک شکل فاصله دور آن است. جمع محیط های همه مثلث های سفید را در هر یک از شکل های بالا بیابید. چه الگویی را مشاهده می کنید؟
تکرار یک الگوهای خاص، فراکتال ها را شکل می دهد. بسیاری از الگوهای طبیعی، مانند الگوهای آب و هوایی یا خطوط ساحلی می توانند، با این فراکتال ها مدل سازی شوند.
جواب:
15 اینچ
شروع کنید:
شکل 1 فقط یک مثلث سفید است. تا زمانی که هر ضلع آن 1 اینچ است، محیط آن 3 اینچ است. در شکل 2 چند تا مثلث سفید وجود دارد؟ محیط هر یک از این مثلث ها چقدر است؟ جمع محیط ها برای شکل 2 چقدر است؟ یک جدول برای کمک به جواب دادن به سوال ها تهیه کنید.
جمع محیط ها (np) | جمع تعداد مثلث های سفید (n) | (p) محیط هر مثلث سفید برابر است با طول ضلع ×3 (بر حسب 1 اینچ) | طول ضلع هر مثلث سفید (بر حسب اینچ) | شماره شکل |
3 | 1 | 3 | 1 | 1 |
2 |
جدول را کامل کنید:
جمع محیط ها (np) | جمع تعداد مثلث های سفید(n) | (p) محیط هر مثلث سفید برابر است با طول ضلع ×3 (بر حسب 1 اینچ) | طول ضلع هر مثلث سفید (بر حسب اینچ) | شماره شکل |
3 | 1 | 3 | 1 | 1 |
9/2 | 3 | 3/2 | 1/2 | 2 |
27/4 | 9 | 3/4 | 1/4 | 3 |
81/8 | 27 | 3/8 | 1/8 | 4 |
243/16 | 81 | 3/16 | 1/16 | 5 |
همین طور که شماره های شکل زیاد می شود، طول ضلع هر مثلث سفید نصف می شود، و تعداد مثلث های سفید سه برابر می شود. این یعنی جمع محیط در هر شکل 
یا 
شکل قبلی است.
جمع محیط های شکل 5 ،16/243 یا 
خواهد بود.
این را امتحان کنید:
- همین طور که این الگوی رقابت ادامه پیدا می کند، کپی های کوچک تر از شکل های اولیه خودشان را تکرار می کنند. تاثیرات مشابهی در برخی از جاهای جالب اتفاق می افتد. برای مثال، بین دو آینه موازی بایستید و به تصاویر ایجاد شده نگاه کنید. به چه الگویی توجه می کنید؟
- الگوی فراکتان شخصیت تان را طراحی کنید.
رقابت های اضافی:
1- فرض کنید یک اونس رنگ برای پوشاندن مثلث شکل یک لازم باشد، چه مقدار رنگ برای پوشاندن مثلث های سفید در شکل های 2 و3 نیاز است.
2- یک دستورعمومی برای جمع محیط های مثلث های سفید در هر شکل این رقابت، پیدا کنید.
3- هر ضلع مربع شکل زیر 1 اینچ است. فرض کنید شما این الگو رادر این شکل تا رسیدن به شکل 5 ادامه دهید.
الف) جمع محیط های مربع های سفید را در شکل 5 پیدا کنید.
ب) جمع مساحت های مربع های سفید را در شکل 5 بیابید.
چیزهایی برای فکر کردن:
- اگر الگو در این رقابت ادامه پیدا کند، در نهایت چه اتفاقی برای محیط و مساحت شکل های متوالی، می افتد؟
- کتاب کمیک سیمپسون بارت چگونه یک شکل فراکتال را تهیه کرده است؟
آیا شما فکر می کنید که:
- الگوی این رقابت شکلی را نتیجه می دهد که به مثلث سرپینسکی معروف است.
- قسمت هایی از بعضی فراکتال ها شبیه به کل فراکتال ها است. این خاصیت را همسانی به خود می گویند.
- شکل هایی که می توانند به کپی های کوچک تر از شکل ساخته شوند را گاهی اوقات ابزار همزاد گویند.
- بعضی از شکل های کامپیوتری برای مدل سازی ابرها، خطوط ساحل و کوه ها از فراکتال ها استفاده می کنند.
جواب رقابت های اضافی:
1- اگر یک اونس رنگ برای مثلث شکل 1 نیاز باشد، سپس برای رنگ کردن مثلث های سفید شکل 2،
یک اونس نیاز است، و 
یک اونس برای رنگ آمیزی مثلث های سفید شکل 3 نیاز است.
2- اگر n تعداد شکل و طول شکل 1، یک اینچ باشد، سپس جمع محیط ها برابر است با:
یا 
3- الف) جمع محیط ها برای شکل 5، 81/2500 یا در حدود 9/30 اینچ خواهد بود.
ب) جمع مساحت ها 
یا در حدود 1/0 اینچ مربع است.
مترجم: رستمی
تنظیم: طیبه موسیوند
