مسئله خوارزمی

توضیح اولیه:

برای اولین بار خوارزمی این مسئله را به صورت زیر مطرح کرد:

ابتدا یک درم را بین تعدادی مرد تقسیم کرده ایم.

یک مرد دیگر به تعداد نفرات اضافه شد، مجبور شدیم دوباره یک درم را بین افراد حاضر تقسیم کنیم؛ پس از تقسیم، به هر نفر از مردها، 6/1 کمتر از بار اول رسیده است. حال این سؤال توسط خوارزمی مطرح شد که تعداد مردان در تقسیم اول چند نفر بوده است؟

فرمولبندی مسئله:

بنا به فرض مسئله؛ اگر x را تعداد مردان در تقسیم اول در نظر بگیریم، به هر مرد 1/x درم می رسید. در صورتی که در تقسیم دوم به هر نفر 1/(x+1) درم می رسد. بنابراین، معادله ی مسئله ی خوارزمی به صورت زیر می باشد (چرا؟):

خوارزمی می گوید، معنای مسئله این است که باید تعداد مجذور مردان به اضافه تعداد آن ها، برابر 6 شود (چرا؟):

قبل از آن که به حل مسئله در کاربرگ پویا و روش خوارزمی بپردازیم، روی پاسخ این مسئله کمی فکر کنید. روش حل شما جالب توجه خواهد بود!

حل مسئله در کاربرگ پویا:

در این تمرین، با ابزار جدیدی به نام   تقاطع آشنا می شوید. با این ابزار می توانید نقاط تقاطع چندین منحنی را به طور دقیق به دست آورید.

• معادله ی 1 را با صفحه کلید در قسمت نوار ورودی محیط تعاملی ذیل وارد کنید و کلید Enter را فشار دهید، با این کار نمودار رسم می شود.

• معادله ی 2 را نیز به همین ترتیب رسم کنید.

• اگر پیغام خطا دریافت کردید، دقت کنید منحنی را درست وارد کرده باشید.

• ابزار  تقاطع را انتخاب کنید. سپس با ماوس در محل تقاطع منحنی ها کلیک کنید تا نقطه تقاطع ایجاد شود. ( برای مشاهده مختصات نقطه ی تقاطع، پس از انتخاب ابزار  جابجایی، روی نقطه مورد نظر کلیک راست کنید و روی ویژگی ها کلیک نموده، سپس در قسمت نمایش نام گزینه ی نام و ارزش عددی را انتخاب نمایید. )

• اگر این مسئله را روی کاغذ حل کرده اید، پاسخ تان را با مشاهدات خود تطبیق دهید.

برای دیدن محیط تعاملی، نرم افزار جاوا را از اینجا دریافت کنید.

حال به روش خلاقانه خوارزمی می پردازیم . خوارزمی همواره علاقه مند بود با تعبیرهای هندسی مسائل جبری را حل کند. وی برای حل معادله های درجه دوم از تعبیرهای هندسی بهره می گرفت.

روش خوارزمی:

خوارزمی به کمک ذهن پویای خود از مربع به عنوان راه حل این مسئله استفاده کرد.

بدین ترتیب که جمله های دارای مجهول را در یک طرف نگه داشت و جمله دیگر را که یک عدد است به طرف دیگر برد. بنابراین معادله، به صورت (2) می آید. نصف ضریب x را حساب می کنیم که در این جا عدد  است.

در شکل زیر، مربعی به ضلع  رسم شده است. مساحت این مربع را می توان حساب کرد.

مساحت مربع رنگی شده برابر می باشد. مساحت قسمت سفید باقی مانده از مربع، برابر است با x²+x که مساوی با 6 می باشد.

مساحت مربع بزرگ برابر مساحت مربع رنگی به علاوه قسمت سفید باقی مانده است، به عبارت دیگر، مساحت مربع بزرگ، برابر . بنابر این، طول ضلع مربع بزرگ برابر  می باشد. یعنی،  در نتیجه x=2.

• آیا پاسخ شما در کاربرگ پویا با پاسخ خوارزمی یکسان است؟

• روش شما با روش خوارزمی چه تفاوت هایی دارد؟